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LA MODELACIÓN MATEMÁTICA COMO BASE DE LA AUTONOMÍA CIENTÍFICA DE LA CONTABILIDAD

 




Jesús Arenas Herrera

1. INTRODUCCIÓN

Hace algunos años, en un artículo de investigación, quise llamar la atención sobre dos temas que me parecían (y aún me parecen) de la más alta importancia para el desarrollo científico de la Contabilidad. Me referí en aquella oportunidad, al "problema de la terminología" y al "problema de la matematización de los hechos contables.

Teniendo en mente, la sentencia del matemático francés Julio Enrique Poincaré (1854?1912) quien sostenía que "toda ciencia tiene de ciencia lo que tiene de Matemática", en el presente trabajo, a partir de conceptos elementales, trataré de avanzar hacia la formulación de modelos matemáticos completos que, junto a su coherencia lógica interna, prueben ser efectivos en la solución de los problemas planteados por la práctica contable concreta.


2. CONTABILIDAD Y MATEMÁTICAS : UN PROMISORIO REENCUENTRO


En el presente capítulo, expondré algunos puntos de vista particulares acerca del estado actual del planteamiento matemático de la Contabilidad, a base de los cuales pretendo demostrar que la modelación matemática de los fenómenos contables ayudaría a una mejor formulación y a una resolución sistemática (es decir: ordenada y efectiva) de los problemas que la Contabilidad plantea, acelerando así su desarrollo conceptual y otorgándole el lugar que -entre las ciencias- le corresponde.


2.1. Estado actual del planteamiento matemático de la Contabilidad

Hoy más que nunca, resultan válidas y vigentes las graves advertencias que connotados Contadores Públicos han hecho desde hace varios años, acerca de la perentoria necesidad de un nuevo enfoque, de un aggiornamento de la Contabilidad, para ponerla a tono con el desarrollo de otras ciencias y de este modo procurarse el carácter científico que le está haciendo falta.

El llamado hacia un nuevo enfoque de la Contabilidad, como bien lo señalaba el Profesor Mattesich ya en 1964, nos viene desde varios rumbos; y la necesidad de una actualización de la disciplina contable tiene muchas facetas. Así, parece que los Contadores están enfrentados a elegir una de dos alternativas: (1) adquirir profundos conocimientos de diversos aspectos de la jurisprudencia (legislación civil, legislación comercial, legislación tributaria, etc.) y desarrollar de este modo nuestra disciplina dentro del campo puramente legalista, o (2) adquirir proficiencia en modernos métodos analíticos cuantitativos y tratar de mantener el antiguo status de nuestra disciplina, esto es: el de ser la herramienta cuantitativa más importante de la práctica económica. (MATTESICH 1964: 14?15)

Tal como están las cosas, parece evidente que los Contadores Públicos se han visto sobre?afectados por los aspectos legalistas de su ejercicio profesional y, en gran mayoría, han otorgado precedencia en su desarrollo profesional a estos aspectos más bien que a una sistemática capacitación y la adquisición de destrezas en la aplicación de métodos analíticos cuantitativos, tan importantes hoy en día.

Como sabemos, "hasta hace unos (...) años atrás, se hubiera podido decir que la única habilidad matemática requerida por un Contador era el desarrollo de un reflejo condicionado que lo capacitara para la provisión de extensas listas de valores monetarios." (MEPHAM 1966: 687). Pocos podrían sostener esto ahora.

Sin embargo, debemos reconocer que si bien hay algunos Contadores Públicos que están enfrentando con decisión el problema de la aplicación de métodos científicos al estudio de la Contabilidad, son muchísimos más aquellos que lo están soslayando, prefiriendo concentrar sus esfuerzos en las que hemos denominado áreas legalistas de la profesión.

Y es ésta una situación acerca de la cual queremos demandar la más grave atención, pues es apremiante que la profesión contable, y sobre todo los Contadores Públicos deben cambiar. Y como una pequeña muestra del cambio que empieza a producirse, quisiera comentar -aunque no sea sino de una forma panorámica- algunas de las obras más significativas que han realizado importantísimos aportes al nuevo enfoque de la Contabilidad, proyectándola hacia renovados escenarios de praxis profesional.


· El artículo fundador de Richard Mattesich titulado "Toward a general and axiomatic foundation of Accountancy" (aparecido en Accounting Research, Octubre de 1957) y su libro "Accounting and Analytical Methods. Measurement and Projection of Income and Wealth in the Micro- and Macro- Economy". En estos trabajos, el autor plantea la necesidad de una axiomática contable que nos lleve hacia una teoría general de la Contabilidad. Asimismo, señala desarrollos modernos de representación y tratamiento de flujos contables como la Teoría de Redes y el Álgebra de Matrices.


· El libro del Profesor John K. Shank, "Matrix Methods in Accounting" (1972). En este trabajo el Profesor Shank, a partir de una introducción al Álgebra de Matrices, revisa aplicaciones prácticas de ésta en Teneduría de Libros, Contabilidad de Costos, Contabilidad Financiera y Planeamiento Financiero (Análisis Input?Output, Valuación de Cuentas por Cobrar y Valuación de Inventarios). Al final de cada capítulo, se incluye "Referencias Seleccionadas" que remiten al lector a trabajos de mayor profundidad.


· "La Nueva Contabilidad" (1975) y "Teoría y Estructura de la Nueva Contabilidad" (1979) de Enrique Ballestero, son los libros de Contabilidad moderna -escritos originalmente en castellano- más importantes hasta hoy. El Profesor Ballestero con lenguaje sencillo y con gran tino didáctico analiza en sus obras importantes temas, tales como la Contabilidad y la Teoría de Grafos (o Redes), la Teneduría de Libros Matricial, la Contabilización de la Ganancia y el Principio de la Fidelidad Contable y Problemas centrales de la Contabilidad de Costes. En la Segunda Parte (que sólo aparece en su obra de 1979) aborda la Teoría de las Cuentas, evalúa la Teoría Estructuralista de la Contabilidad y analiza con cierto detalle temas de Contabilidad Multidimensional y Auditoría.


· El libro de A. Wayne Corcoran, originalmente escrito en inglés y publicado en castellano en 1983, bajo el título de "Costos. Contabilidad, Análisis y Control". Obra sumamente importante, que no deja de abordar casi ningún tema de Contabilidad de Costos, bajo una óptica innovadora y siempre utilizando las técnicas analíticas cuantitativas más elaboradas. En este libro se revisan Técnicas de Presupuestación y Contabilidad por Áreas de Responsabilidad, echando mano a la Teoría de las Cadenas de Markov, el prorrateo de Costos Indirectos usando el cálculo matricial y se hace un estudio sobre Costos Estándar con auxilio del Cálculo Infinitesimal. Se utilizan también el Análisis Combinatorio, el Muestreo Estadístico, las Líneas de Espera, la Programación Lineal, el Análisis Insumo-Producto y la Programación Dinámica.


2.2. Los modelos matemáticos contables

En Contabilidad, como se puede verificar con facilidad, no ha habido mayor avance en lo que respecta a construcción de modelos matemáticos. La ecuación A = P + C (y sus forzadas sofisticaciones), no es, ni con mucho, el modelo matemático que se precisa para desencadenar el proceso de la matematización de la Contabilidad.

Como sabemos, un modelo es la representación de una porción de la realidad en sus elementos más pertinentes para la solución del problema o situación que afrontamos. Por consiguiente, llamaremos modelo matemático contable a la representación en lenguaje matemático de un problema propio de la Contabilidad, cuya solución se busca.

A algunos Contadores Públicos podrá parecerles extraño y a algunos matemáticos, audacia temeraria, que hablemos sin más ni más -como lo acabamos de hacer- de un modelo matemático contable. Al respecto, quisiera señalar que "es interesante observar que la obra `Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalitá´ (`Resumen de la Aritmética, Geometría, las Proporciones y la Proporcionalidad´) se cita frecuentemente en dos campos, de hecho ambos campos muestran reconocimiento a su autor, el Padre Luca Paciolo. En las Matemáticas, la Summa es notable por muchas contribuciones; las permutaciones son sólo un ejemplo. Por otra parte, para el estudiante de Contabilidad, la Summa está considerada como el tratado fundamental sobre los principios básicos de la Contabilidad. Es sorprendente que en la senda de referencias, al correr de los años, ambos campos hayan perdido de vista en gran parte la extensión en que comparten una herencia común de la Summa. Robert E. Pfenning, Contralor de la General Electric Company, llamó recientemente la atención hacia esta herencia y hacia algunas de las proféticas observaciones del Padre Paciolo: `Él [Paciolo] señala que para ser un buen hombre de negocios es necesario `ser un buen Contador y un diestro Matemático´. Ahora, [...] , los que somos Contadores, estamos volviendo a las Matemáticas en busca de ayuda en lo que consideramos un concepto extendido de nuestra misión´" (SPRINGER 1972: 150 )


2.3. La representación matricial de los hechos contables

Queremos ahora dar una explicación sucinta de las propiedades de las matrices (en su concepción matemática) y señalar puntualmente las ventajas de su aplicación en la representación de las mediciones contables.

Una matriz no es más que un conjunto ordenado de números, dispuestos en m filas y n columnas. En sentido matemático estricto, una matriz podría no representar nada en particular (aparte de la idea de matriz en sí misma); sin embargo, cuando es aplicada a la representación de mediciones contables representa al menos una posición (un estado) del hecho o problema contable que está siendo abordado.

De facto, muchos estados contables son presentados ya en forma matricial; pero esto no quiere decir que los Contadores Públicos hayan estado usando el Álgebra de Matrices sin conocerla, ya que las propiedades matemáticas de las matrices no son utilizadas en esta forma de estados contables. 

Las matrices en estos casos han sido usadas solamente como meros formatos de presentación para comunicar información en una forma concisa y conveniente. Los matemáticos preferirían usar los términos "arreglo" o "tableau" al designar estos formatos para enfatizar las limitaciones de estas formas de matriz. En este trabajo no usaremos el término "matriz" sino en su sentido matemático.

Si convenimos en llamar "débitos" a las filas y "créditos" a las columnas, podemos fácilmente constatar que una matriz puede representar cómodamente un conjunto de transacciones contables mediante la inscripción, en la intersección de fila y columna (i.e. débito y crédito) del valor asignado a cada transacción. Es de advertir que, a diferencia de lo que exige el algoritmo de la partida doble tradicional, el uso de las matrices en la teneduría de libros no requiere sino una sola anotación. La presentación matricial de las expresiones contables facilitan su tratamiento por computador, lo cual a su vez permite el manejo de matrices de casi cualquier orden (número de filas-columnas).

Traduciendo desde el alemán un trabajo de O. Pichler aparecido en Untersuchungsforschung (Revista de Investigación de Operaciones), Richard Mattesich señala que comparados frente a frente el cálculo matricial y los métodos clásicos de la Contabilidad de Costos, se pueden resumir las ventajas del primero como sigue:


1. Habilita una representación concisa y uniforme de diversos problemas contables y su solución con la ayuda de métodos matemáticos bien desarrollados. Así, por ejemplo, los problemas de Contabilidad de Costos, el control de la rentabilidad por medio de las varianzas y la programación lineal pueden ser muy sencillamente representadas por medio de matrices.


2. En muchos casos, permite la ejecución anticipada de la mayoría de los cálculos y almacenar los resultados en una matriz.


3. Tomando en consideración las relaciones e interrelaciones causales de la firma, ofrece una herramienta efectiva para la pronosticación a corto y largo plazos.


4. Provee, para un amplio rango de problemas, procedimientos simples y uniformes de cálculo para los cuales existen programas de computadoras ya preparados, a gran escala. (MATTESICH 1958: 472-81)



3. CASOS PRÁCTICOS

En el presente capítulo, presento dos problemas cuyo planteamiento y resolución dan una idea clara de la factibilidad y beneficios que tiene la aplicación de procedimientos matemáticos (en este caso, el Álgebra de Matrices) a problemas contables específicos.

En primer lugar citaré in extenso la sección 1 ("General Ledger Accounting") del Capítulo 2 del libro del profesor John K. Shank (1972: 17-23). Como un segundo campo de aplicabilidad del tratamiento matricial a problemas contables, explicaré un método de estimación de la provisión de las cuentas de cobranza dudosa mediante el proceso de Cadenas de Markov.


3.1. La Teneduría de Libros Matricial: técnicas de procesamiento electrónico

Examinaremos en las páginas siguientes cómo el computador opera con conceptos tales como partida doble, débitos y créditos, asientos de ajuste, transacciones compuestas y otros similares. La relevancia del tema proviene del hecho que, en muchas instalaciones de computación, la teneduría de libros es hecha usando métodos matriciales. La aplicación de métodos matriciales a esta parte tradicional de la Contabilidad Básica es realmente el tema.


a) La Matriz del Mayor General

Como un marco de referencia para la ilustración de las técnicas de la teneduría de libros matricial, usaremos el hipotético "Emporio de Descuento Anderson" (EDA). El plan de cuentas para EDA, de propiedad unipersonal, es uno simple, como sigue:



Cuenta 0 Caja
Cuenta 1 Inventario
Cuenta 2 Activo Fijo
Cuenta 3 Depreciación Acumulada
Cuenta 4 Cuentas Por Pagar
Cuenta 5 Capital Propietario
Cuenta 6 Cuenta de Resultado del Propietario
Cuenta 7 Ventas
Cuenta 8 Costos de la Mercadería Vendida
Cuenta 9 Otros Gastos

Ningún negocio real usaría actualmente este breve plan de cuentas, pero estamos más interesados por el momento en la claridad de la ilustración que en el realismo. Aunque EDA es una pequeña empresa con necesidades contables muy simples, el propietario, Bob Anderson, ha decidido emplear un "service" para hacer toda la Contabilidad y la Teneduría de los Libros de la tienda. El "service" usará métodos matriciales para hacer la teneduría de libros.

El primer paso a este respecto es construir una matriz "Plan de Cuentas", como se ilustra a continuación.

   

 

 





b) Análisis de transacciones

El próximo paso es especificar un procedimiento para ingresar los datos de transacciones dentro de este más bien raro Mayor. Ya que todos los asientos están compuestos de débitos y créditos, y la matriz está compuesta de filas y columnas, podemos adoptar la conveniente convención de manera que los débitos corresponden a las filas y los créditos a las columnas. No tendremos ya necesidad de escribir las cosas dos veces para preservar la convención de la Partida Doble ya que cada elemento en la matriz Mayor tiene ya una doble designación: a saber, su localización fila y su localización columna. Así si el Sr. Anderson vende un traje por S/. 50 al contado, no es necesario anotar un débito por S/. 50 a Caja y un crédito por S/. 50 en la cuenta de ventas; en lugar de ello sólo necesitaremos ingresar S/. 50 en la celda l07 ya que esta celda es la que representa un débito a Caja (Cuenta 0) y un crédito a Ventas (Cuenta 7).

Ya que la matriz Mayor no existe en ninguna otra manera que no sea la memoria del computador, una más correcta declaración acerca de cómo esta transacción es asentada es decir que ordenamos al computador que sume S/. 50 al total almacenado en la posición l07. Como este ensayo no trata de programación de computadores, no detallaremos más acerca de cómo una orden tal del computador podría ser actualmente descrita, sin embargo, la ilustración podría aparecer de cualquier forma como sigue:

l07 = l07 + 50

Este es un uso especializado del signo "igual" y por supuesto no significa que el primer miembro de la ecuación es igual al segundo miembro. Lo que representa es un comando al computador para tomar lo que aparece al lado derecho del signo igual y ponerlo a la situación indicada en el lado izquierdo del signo. Esta instrucción de este modo dice al computador que ponga la suma de lo que está en l07 más 50 en la posición l07. El resultado es claramente la suma de 50 más l07, que es lo que queremos.

Para fortalecer la comprensión de esta técnica para el registro de transacciones, considere los siguientes tres ejemplos adicionales.


1. El Sr. Anderson compra S/. 3,000 precio de la Mercadería a crédito.

Asiento de Mayor Tradicional:
Db. Inventario (Cuenta 1) 3,000
Cr. Cuentas por Pagar (Cuenta 4) 3,000

Asiento en la matriz Mayor:
l14 = l14 + 3,000


2. El Sr. Anderson paga una factura que suma S/. 100 anuncios de periódicos de la semana corriente.

Asiento de Mayor Tradicional:
Db. Otros Gastos (Cuenta 9) 100
Cr. Caja (Cuenta 0) 100

Asiento en la matriz Mayor:
l90 = l90 + 100


3. El gasto por depreciación del mes es S/. 200

Asiento de Mayor Tradicional:
Db. Otros Gastos (Cuenta 9) 200
Cr. Depreciación acumulada (Cuenta 3) 200

Asiento en la matriz Mayor:
l93 = l93 + 200


c) Transacciones Compuestas

El procedimiento arriba mencionado corresponde a transacciones "simples" en las cuales una cuenta es debitada y una cuenta es acreditada por el mismo monto. Con el fin de procesar transacciones compuestas en las que los montos individuales de débito y crédito no son iguales, necesitaremos adoptar cierta clase de convención simplificadora. Por ejemplo, considere cómo registraríamos el asiento si el Sr. Anderson compra S/. 1,000 precio de mercadería, S/. 100 precio de muestras de material para ser gastadas de un mismo proveedor a crédito. En un Mayor manual o mecanizado el asiento sería:

Db. Inventario (Cuenta 1) 1,000
Db. Otros Gastos (Cuenta 9) 100
Cr. Cuentas por Pagar (Cuenta 4) 1,100

En la matriz Mayor, sin embargo, no podemos usar el procedimiento delineado más arriba ya que los débitos individuales no igualan el monto del crédito. Lo que debemos hacer es separar el asiento en dos partes que contengan montos de débito y crédito igualados. Este proceso de segmentación es puramente arbitrario y no es realmente importante cómo un asiento es separado, ya que las partes suman el asiento compuesto apropiado. En el ejemplo a mano, parece más lógico segmentar el asiento como sigue:
l14 = l14 + 1,000
l94 = l94 + 100

Muchas veces, sin embargo, no hay otra manera tan obvia de segmentar el asiento. Considere, por ejemplo, la situación en la que el exhibidor que originalmente costó S/. 100 con un valor residual en libros de S/. 50 es vendido por S/. 65 al contado.

El asiento compuesto es:

Db. Caja (Cuenta 0) 65
Db. Deprec. Acumulada (Cuenta 3) 50
Cr. Activo Fijo (Cuenta 2) 100
Cr. Resultado Propietario (Cuenta 6) 15 



En este caso, no hay una manera única de segmentar el asiento. Un procedimiento que funciona es el siguiente:

l02 = l02 + 65
l32 = l32 + 35
l36 = l36 + 15

Ya que la selección es arbitraria, se podría haber optado por registrar el asiento de esta manera:
l02 = l02 + 50
l06 = l06 + 15
l32 = l32 + 50

Uno u otro modo dan como resultado débitos totales a Caja (Cuenta 0) por S/. 65 y a Depreciación Acumulada (Cuenta 3) por S/. 50 y créditos totales a Activo Fijo (Cuenta 2) por S/. 100 y a Cuenta Resultado del Propietario (Cuenta 6) por S/. 15. De este modo, cualquier procedimiento es aceptable. Siempre que seamos cuidadosos de preservar los totales correctos, un asiento compuesto puede ser segmentado en asientos simples en cualquier modo que se elija.


d) La operación del Balance de Comprobación

Luego que los datos de las transacciones por un período han sido completamente asentados en la Matriz Mayor, el próximo paso es sumarizar éstos en la forma de un Balance de Comprobación no ajustado. Con este fin, crearemos una Matriz Balance de 1 x n (o vector fila) T, en la que n se refiere al número de elementos en el Plan de Cuentas. Para nuestro ejemplo, EDA, n es igual a 10. Estableceremos también la convención de que los débitos son más y los créditos menos, de tal modo que cuando veamos elementos en el vector T Balance de Comprobación, seremos capaces de distinguir los saldos deudores y acreedores. Ya que los asientos en la i-ésima fila de la Matriz Mayor representan todos los débitos a la Cuenta número i y los asientos en la i-ésima columna representan todos los créditos a esta columna, el impacto neto de las transacciones durante un período sobre la cuenta número i puede ser computado mediante la sustracción de la suma de la columna i-ésima de la suma de la fila i-ésima. El efecto neto es un débito si la diferencia es positiva, y un crédito si es negativa.

De esta manera, podemos computar un Balance de Comprobación no ajustado en cualquier punto del tiempo solamente por la actualización de los Balances del período anterior por su impacto neto de las transacciones del período. Asumiendo que los asientos t1 inicialmente reflejan los balances del período anterior a cada cuenta, podemos realizar un Balance de Comprobación del período corriente mediante la siguiente instrucción de computador generalizada:

Para cada cuenta i, hágase:

  t1 = t1 +  

lik - 

lki




Recordando la notación sumatoria fila y columna presentada en líneas precedentes, podemos escribir la instrucción como sigue:

Para i = 1,2, ..., 10 hágase ti = ti + lin - lni

Para verificar que T está balanceada, podemos

verificar la relación

ti = 0 

ya que los débitos son mases y los créditos son menos y el total de los débitos debería ser igual al total de créditos, la suma de todos los asientos del vector T debería ser cero. Si T estuvo balanceada al comienzo del período los procedimientos descritos más arriba no deberían alterar la condición de balanceamiento. En términos resumidos, hemos adicionado a la suma de cada fila de L a T y restando de ésta la suma de cada columna de L. La suma de los totales de las filas en L debe ser el mismo que la suma de los totales de todas las columnas ya que el total de débitos es igual al total de los créditos. Así el valor agregado de T debe permanecer siendo siempre cero.


e) Procedimientos de ajuste y cierre

Una vez que los datos de las transacciones mensuales han sido transferidos desde la Matriz Mayor a un vector Balance de Comprobación no?ajustado la matriz misma debe ser puesta a cero de manera que esté lista para recibir el nuevo lote de información de transacciones. Esto puede realizarse de la siguiente manera con instrucciones de computador generalizadas:

lij = 0, i = 1,2, ..., 10

j = 1,2, ..., 10

En este punto, todos los asientos de ajuste que son necesarios pueden ser registrados en la Matriz Mayor. Una vez que éstos han sido registrados en el Mayor, un Balance de Comprobación ajustado puede ser generado mediante la simple repetición de las operaciones de Balance de Comprobación descritas en la sección precedente. Similarmente, uno puede preparar un Balance de Comprobación cerrado mediante la puesta en cero nuevamente de la Matriz Mayor registrando entradas de cierre a ésta y luego repitiendo las operaciones de Balanceo de Comprobación. Una vez que esto ha sido hecho, la Matriz Mayor deberá nuevamente ser puesta a cero de tal forma que quede lista para recibir los datos de transacciones básicas para el siguiente período. Revisemos ahora este proceso desde el inicio hasta el final. Asumiendo que T inicialmente contiene el Balance cerrado del período anterior y L inicialmente es una Matriz Cero:

1. Registrar los datos de todas las transacciones básicas en la Matriz Mayor.

2. Prepare un Balance de Comprobación no ajustado mediante la actualización de T. Haga que el computador imprima T para tener un registro tangible de este estado de ciclo.

3. Ponga en cero la Matriz Mayor.

4. Registre los asientos de ajuste en la Matriz Mayor.

5. Prepare un Balance de Comprobación ajustado actualizando T nuevamente. Imprima otra vez T.

6. Vuelva a poner en cero la Matriz Mayor.

7. Registre los asientos de cierre en la Matriz Mayor.

8. Prepare un Balance de Comprobación cerrado actualizando T por tercera y última vez. Imprima T nuevamente.

9. Ponga a cero la Matriz Mayor por tercera y última vez preparándola para el nuevo ciclo que empezará el próximo período.


3.2. La estimación de la Provisión para Cuentas de Cobranza Dudosa mediante Cadenas de Markov

En la presente sección, nuestro interés estará centrado en el desarrollo práctico más que a la explicación teórica de la resolución del modelo de las cadenas de Markov, ya que esto último no constituye el objetivo principal de nuestro trabajo. 

Definamos en primer lugar, el proceso de Cadenas de Markov y tratemos de aprehender su funcionamiento en forma general.

El proceso de Markov se define como "una manera de analizar el movimiento actual de alguna variable en un esfuerzo por predecir o pronosticar el movimiento futuro de la misma" (THIERAUF 1982: 370). En otras palabras, un proceso de Markov constituye "un modelo probabilístico para la predicción del comportamiento futuro de un sistema. Con este modelo es posible predecir aproximadamente cuál será el comportamiento de un sistema bajo estudio en un período futuro, en base al conocimiento previo de su comportamiento en un período pasado. Además, nos permite calcular el nivel al cual tiende el sistema (en caso de que existiera un nivel de equilibrio), la trayectoria que va siguiendo a través del tiempo y la velocidad con que se acerca a ese estado de equilibrio.

"(...) Al utilizar el modelo denominado 'Cadenas de Markov' en un problema concreto, se supone que es factible analizar un sistema con respecto a alguna variable importante (o conjunto de ellas), determinando el valor de la(s) misma(s) mediante observaciones periódicas que se obtienen a intervalos fijos de tiempo. Los resultados de esas observaciones cuantitativas o más generalmente una función de ellas, se llaman estados del sistema. Si comenzamos el estudio del proceso en algún estado particular y además podemos determinar las probabilidades de pasar de ese estado a cualquier otro (llamadas probabilidades de transición), se pueden estudiar las diversas trayectorias alternativas y calcular las probabilidades que corresponden a cualquier secuencia de transiciones en un período dado de tiempo.

"(...) ...los supuestos básicos que se aceptan en este tipo de análisis son los siguientes:

i) En los sistemas sociales es posible determinar un número finito de estados posibles;
ii) la probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado determinado depende únicamente del estado inmediato precedente;
iii) las probabilidades de transición de un estado a los demás se mantienen fijas a través del tiempo".
( KLEIMAN 1973: 275-6)

Repasemos brevemente lo dicho hasta ahora, tratando de ligarlo a nuestro conocimiento del proceso de las Cuentas por Cobrar, tal como la venimos trabajando hoy en día. Supongamos que queremos determinar cuál será el comportamiento de las Cuentas por Cobrar en un período de tiempo determinado (el mes de Julio, por ejemplo); esto es, queremos saber qué parte de nuestros saldos en Cuentas por Cobrar van a ser efectivamente pagados y qué parte de ellos resultará incobrable.

Hagamos de cuenta que hemos efectuado un análisis y una clasificación por vencimiento de los saldos de Cuentas por Cobrar y que, gracias a ello, somos capaces de establecer la ruta que van siguiendo éstos a través del tiempo. Es decir, cómo van pasando de "Un Mes Vencido" a "Dos Meses Vencidos", de "Dos Meses Vencidos" a "Tres Meses Vencidos", o a "Pagado" o a "Incobrable", o cualquier otro camino; pudiendo por tanto asignar la probabilidad de pasar de cada uno de estos estados "de paso" (o "transitorios") hacia uno de los dos estados "definitivos" (o "absorbentes"). Esto es lo que la teoría llama las probabilidades de transición de los estados transitorios a los estados estables. Asimismo, como podemos comprobar en la práctica, en nuestro caso tenemos los estados estables de "Pagado" e "Incobrable". Haciendo abstracción del improbable (aunque posible) caso de que una cuenta declarada "Incobrable" se pueda luego cobrar, no hay más que estos dos estados.

De otro lado, y ya que se trata de un proceso estocástico, se supone que -al cabo de infinitos intentos- las probabilidades de transición de los saldos de Cuentas por Cobrar se mantendrán fijas en el tiempo y, por lo tanto, es válido el uso del modelo para efectos de predicción del funcionamiento de las Cuentas por Cobrar. Y esto es lo que vamos a demostrar.

La matriz de una Cadena de Markov, cuya resolución está dada por la ecuación P = N* R , puede dividirse en cuatro matrices, de la manera siguiente:

O
R Q


en la cual:

I es una matriz identidad.
O es una matriz en la que todos sus elementos son cero.
R es una matriz que contiene las probabilidades de ir directamente de cada estado transitorio a cada estado absorbente.
Q es una matriz de las probabilidades de transición para los estados transitorios.

La resolución de este modelo, está dada por la ecuación P = N * R, en donde N = (I?Q)-1 y en la que P denota la probabilidad de comenzar en uno u otro estado transitorio y finalizar en uno u otro estado absorbente.

La matriz (I-Q)-1, recibe el nombre de matriz fundamental de una Cadena absorbente de Markov y es llamada frecuentemente matriz N .

Sea, pues, la matriz de nuestra Cadena Absorbente de Markov, como sigue:

       P      I       C      1

  




En ella suponemos que hay dos estados transitorios (saldo "Corriente" y "Un Mes Vencido") y que los saldos "Dos Meses Vencidos" son declarados incobrables y, por lo tanto, hay también dos estados estables o absorbentes ("Pagado" e "Incobrable").

De esta manera:

R =                        

Q = 


Como vimos anteriormente, la matriz R indica que la probabilidad de ir directamente desde el estado transitorio "Saldo Corriente" al estado "Pagado" es de 30%, y la probabilidad de que los saldos en la categoría de "Un Mes Vencido" pasen directamente a la categoría de "Pagado" es de 50%, mientras que el paso directo del estado "Un Mes Vencido" a "Incobrable" es de 10%.
De manera análoga a lo indicado anteriormente, la matriz Q representa las probabilidades que tienen los saldos de las Cuentas por Cobrar de pasar de un estado transitorio ("Corriente" y "Un Mes Vencido") a otro.
Para obtener la matriz fundamental debemos efectuar (I-Q)-1 , o sea calcular la inversa de la matriz (I-Q), lo cual resulta:

N = (I-Q)—1 =     =


y luego obtener el producto P = N * R, como sigue:

P = N*R =    


Esta matriz indica que empezando en el estado "Corriente", la probabilidad de terminar en el estado "Pagado" es de 95%, mientras que la probabilidad de terminar en el estado "Incobrable" es de 5%. Asimismo, la probabilidad de terminar en el estado "Pagado", empezando en el estado "Un Mes Vencido" es de 87% y la probabilidad de llegar a ser "Incobrable", partiendo de la categoría "Un Mes Vencido" es de 13%.

Ahora bien, supongamos que en un momento i el vector Bi de n componentes, sea denotado por:

Bi = Bi0, Bi1, ..., Bi,n-1)


y represente los soles en cada categoría de vencimiento, el producto de B * P, resultará:

(70 30) 

=(92.6 7.4)


Este vector indicará, entonces, cuánto del saldo de las Cuentas por Cobrar en un determinado momento i terminará finalmente como "Pagado" (S/. 92.60) y qué tanto terminará como "Incobrable" (S/. 7.40), facilitando de esta manera el establecimiento de la Provisión para Cuentas de Cobranza Dudosa.

Es claro que en este caso también el Álgebra de Matrices prueba ser un modelo altamente potente, confiable y efectivo para la resolución de problemas contables.



4. GUÍA DE DISCUSIÓN

En busca de un mayor esclarecimiento de la propuesta intelectual del presente trabajo, sería altamente recomendable discutir en torno a los siguientes planteamientos:

· ¿Es posible expresar los procesos contables en términos matemáticos?
· ¿Qué utilidad práctica se deriva de la modelización matemática de la Contabilidad?
· ¿Es la modelización matemática un camino efectivo hacia la autonomía científica de la Contabilidad?
· ¿A partir de la matematización de la Contabilidad se vislumbran nuevos desarrollos?


5. CONCLUSIONES 
· Hasta la fecha, la Contabilidad no ha logrado expresar en términos matemáticos todo el conjunto de procedimientos y leyes que gobiernan su práctica concreta. Esto ha dificultado en gran medida los avances en lo que respecta al desarrollo de una Teoría General de la Contabilidad.
· Desde hace muchos años, los Contadores Públicos se han visto más inclinados a dedicarse a los aspectos legalistas de su profesión, que a su formación (o complementación académica) en métodos analíticos cuantitativos. Pocos son los Contadores Públicos que conocen y aplican en sus labores de práctica profesional o de investigación, dichos métodos. Esto ha derivado dos consecuencias graves:
1) Un desfase científico de la Contabilidad respecto a otras disciplinas.
2) El progresivo y desdeñoso constreñimiento de la práctica profesional del Contador Público a la mera tarea de "llevar los libros", con la consiguiente "invasión" de su campo de acción profesional por parte de profesionales de otras especialidades.


· El desarrollo de modelos matemáticos ofrece enormes posibilidades de avance científico para la Contabilidad. Así ha sucedido en la Física, la Economía, la Biología, etc. Expresar las variables contables en términos matemáticos es una exigencia insoslayable, de hoy en adelante.


· Por su facilidad y versatilidad en la representación de problemas contables, el Álgebra de Matrices es un modelo matemático que se puede usar con gran beneficio en Contabilidad y, tomándola como base, se puede profundizar en la elaboración de los auténticos principios de esta nueva ciencia que está naciendo.


· En la Teneduría de Libros y en la Estimación de la Provisión para Cuentas de Cobranza Dudosa, se pueden aplicar con solvencia profesional las propiedades matemáticas del Álgebra de Matrices.



& BIBLIOGRAFÍA

BALLESTERO, Enrique
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